ar X iv : 1 60 3 . 02 22 1 v 1 [ m at h . PR ] 7 M ar 2 01 6 Monotonicity and complete monotonicity for continuous - time Markov chains

We analyze the notions of monotonicity and complete monotonicity for Markov Chains in continuous-time, taking values in a finite partially ordered set. Similarly to what happens in discrete-time, the two notions are not equivalent. However, we show that there are partially ordered sets for which monotonicity and complete monotonicity coincide in continuous time but not in discrete-time. To cite this article: P. Dai Pra et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006). Résumé Nous étudions les notions de monotonie et de monotonie complète pour les processus de Markov (ou chaînes de Markov à temps continu) prenant leurs valeurs dans un espace partiellement ordonné. Ces deux notions ne sont pas équivalentes, comme c’est le cas lorsque le temps est discret. Cependant, nous établissons que pour certains ensembles partiellement ordonnés, l’équivalence a lieu en temps continu bien que n’étant pas vraie en temps discret. Pour citer cet article :P. Dai Pra et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) Email addresses: [email protected] (Paolo Dai Pra), [email protected] (Pierre-Yves Louis), [email protected] (Ida Minelli). Preprint submitted to Elsevier Science 2006 Version française abrégée L’utilisation des chaînes de Markov dans le cadre des algorithmes MCMC soulève de nombreuses questions au sein desquelles la monotonie joue un rôle important. Deux notions de monotonie sont considérées pour les chaînes de Markov à valeurs dans un espace partiellement ordonné (S,<) (poset selon la terminologie anglaise). Nous supposons S fini et les chaînes (resp. processus) de Markov homogènes en temps. Dans la définition 1.1 nous reformulons la notion de monotonie, équivalente à la définition usuelle via la propriété de stabilité des fonctions croissantes f sous l’action de l’opérateur de transition Ttf(y) :=